Welcome back to Professor Baker’s Math Class! Today, we are tackling one of the most useful and widely applicable topics in Calculus: Optimization. Whether you are a business owner trying to maximize revenue, an engineer trying to minimize material costs, or just a farmer trying to build the biggest fence possible, optimization is the tool you need.

The 6 Steps to Success

Optimization problems are essentially "word problems" on steroids. They can be intimidating, but if you follow the systematic approach outlined in our notes, they become much more manageable. Here is the general strategy:

  1. Understand the Problem: Read it carefully. Identify what is unknown, what is given, and what the conditions are.
  2. Draw a Diagram: Visualizing the problem is crucial. Identify the given and required quantities on your drawing.
  3. Introduce Notation: Assign symbols to the quantity you want to maximize or minimize (let's call it $Q$) and other unknowns ($x, y, r, h$, etc.).
  4. Express Q: Write an equation for $Q$ in terms of the other symbols.
  5. Reduce to One Variable: Use the given constraints to eliminate variables until $Q$ is expressed as a function of just one variable (e.g., $f(x)$).
  6. Use Calculus: Find the absolute maximum or minimum value of $f$. This usually involves finding the derivative $f'(x)$, setting it to zero to find critical numbers, and checking the domain.

Classic Example: The Farmer's Fence

Let's look at a classic geometry problem from the notes. A farmer has 2400 ft of fencing and wants to enclose a rectangular field bordering a river (no fence needed along the river). What dimensions give the largest area?

We start with our Constraint Equation (the perimeter):

$$2400 = L + 2W$$

And our Objective Equation (Area to maximize):

$$A = LW$$

By solving the constraint for $L$ ($L = 2400 - 2W$) and substituting it into the Area equation, we get a function of one variable:

$$A(W) = (2400 - 2W)W = 2400W - 2W^2$$

To find the maximum, we take the derivative and set it to zero:

$$A'(W) = 2400 - 4W = 0$$

$$4W = 2400 \Rightarrow W = 600$$

Using this width, we find the length is 1200 ft. Thus, calculus proves that a width of 600 ft and a length of 1200 ft yields the maximum area.

Real-World Applications: Physics and Business

Optimization isn't just about rectangles. Our class notes covered two other fascinating applications:

  • Minimizing Time (Physics): In the "Boat and Run" problem, we looked at a woman crossing a river. She can row at 6 km/h and run at 8 km/h. By setting up an equation for Total Time ($T = T_{row} + T_{run}$) involving the distance formula ($d = \sqrt{x^2 + y^2}$), we can determine exactly where she should land her boat to reach her destination as fast as possible.
  • Maximizing Revenue (Economics): We also examined a store selling TV monitors. We used a linear demand function derived from survey data ($p(x) = -\frac{1}{2}x + 450$). By multiplying the price function by the quantity sold ($x$), we created a Revenue function: $$R(x) = x(-\frac{1}{2}x + 450)$$. Taking the derivative allowed us to find the exact number of monitors ($x=450$) to sell to maximize income.

Remember, the hardest part is usually setting up the equation. Once you have your function $f(x)$, trust your derivative rules to do the rest! Keep practicing, and you'll be an optimization expert in no time.